目次

1.　ベクトルの起源
2.　三角比とラジアン、sine の起源
3.　対数の起源
4.　
5.　

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1.　ベクトルの起源

　数ベクトルも矢線ベクトルもハミルトンによって、１９世紀に作られたものである。
　よく「ベクトルの概念は古くからあり」などとしている本が見受けられるが、矢印が矢のイメージから、また大きさと方向を持つ量としての力や、力の分解なども現在は矢印で表現しているので当然古くからあるように感じるからであろうと思われる。しかし力の分解を矢印で表したのは、ベクトルが誕生してからであり、それまでは単に線分で表現していたのである。
　力学で使われていた考えは矢線ベクトルのようではあるが、数ベクトルの裏付けの無いものであった。ベクトルの概念は、デカルトによって幾何学が代数と結びつけられたように、ハミルトンによって力学が複素数と結びつけられる過程の中で新しい量として作られたと考えたほうが良いであろう。
　そこでベクトル誕生前夜までをたどってみると。

	複素数の流れ		力学の流れ
		アリストテレス派	平行四辺形の方法により運動を考える。
		ヨルダヌス	運動を互いに垂直な方向に分解する。
カルダノ	3次方程式の解法途中で\(\sqrt{-1}\) を使用
ボンベリ	\(\sqrt{-1}\times\sqrt{-1}=-1\) を認める。	ステヴィン	1586年の「静力学と流体静力学」によって、力の平行四辺形の法則を力の三角形の原理から示した。この本以降、力を線分で表す方法が広く使用されるようになった。
ジラール	虚根を認める。
ウォリス	1693年「虚数は正数と負数の比例中項」として考えるべきであり、したがって実数を表す直線と、虚数を表す直線とは直交しなければならないと考えた。
オイラー	\(\sqrt{-1}\) を \(i\) で表す。
ウェッセル	1797年複素平面を初めて表し、方向を持つ線分（矢印）によってすべての複素数を表し、演算も今日でいうベクトルと同じであった。
アルガン	1806年複素数の幾何学的表示を初めて示す。
ガウス	\(a+bi\) を複素数と名付け表示、演算等の理論を完成させた。

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2.　三角比とラジアン,sineの起源

　三角法（この言葉自体は16世紀ドイツのピティースクスが最初に使用したと言われている）は紀元前2世紀、ギリシアの天文学者ヒッパルコスに始まると言われている。アレクサンドリアのテオンは彼が「弦の表」（今の正弦表）を作り天文学に貢献したと報告している。このヒッパルコスの研究をさらに押し進めほぼ完全なものにしたのは「アルマゲスト」を書いたプトレマイオスである。

　その後千年以上プトレマイオス体系が支持されてきたが、ルネサンス期にドイツに於いて、通称レギオモンタヌスがギリシア人の弦の表のかわりにインド人の半弦の表を採用して正弦表を作成した。また正接にも力を入れ正接表も作成した。ただ正接や余接は1世紀も前にイギリスにおいて知られてはいた。

　三角法やその計算法はその後の精巧な天文器械が作られることによりさらに正確さが要求されいくつもの表が作られたが、16世紀の通称レティクス（本名ヨアヒーム）の作った表が優れていた。彼は正接表、正割表も作成した。
　レティクスの表が優れていたのは、12年間も数人の計算士を雇って正確に行ったからでもあるが、これまで円弧に基づいて考えられてきた三角法や計算法を、直角三角形だけに着目し直接角に依存する量として考えた最初の人であったからである。

　ここに現在高校で学ぶ三角比の考え方が誕生したのである。

　弧度法の単位ラジアンの起源はかなり新しい。1873年6月、ベルファスト大学においてゼイムズ・トムスンが行った試験問題に初めて登場している。しかし彼は1871年頃にこの言葉を用いていたと言われている。なお1869年にトマス・ミュアはrad,radial,radian のどれにするか決めかねていた、1874年にゼイムズ・トムソンと相談の結果radianを採用した。

	バビロニア、エジプト、ギリシア、ヨーロッパの三角法		インド、アラビアの三角法
バビロニア	天体観測が盛ん
アーメス・パピルス	ピラミッドの斜面の角度を、高さに対する斜面の水平距離によってはかる問題が載っている。
ヒッパルコス	弦の表を作る
プトレマイオス	「アルマゲスト」この本はその後千年以上にわたり支持される。
		アールヤバタ	499年インド最初の天文書「アールヤバティーヤ」に半弦の表が載る。
		\(\sin\) の起源	インドでは半弦をardha-jivaとよんだ。ardhaは半分jivaは弦の意味だが単にjivaと省略された。アラビアに伝えられたときjivaがjibaと書かれ、母音を省略する習慣から、jbと書いていた。
ロバート	jbがヨーロッパに伝えられたとき、これが同じ子音を持つjaibと混同された。アラビア語のjaibは女性の衣服での胸をはだけるの意味で、ラテン語のsinusと訳した。(1145年頃）sinusは(衣服のトーガを)たたむ、胸、入江の意味があった。ここから今日の \(\sin\) が作られたのである。
レギオモンタヌス	余弦をsinus rectus complementiと呼んでいる。rectusは直角で余弦は余角の正弦と言う意味であった。
ガンター	1620年余弦をcosinusと呼び、ここから \(\cos\) が作られたのである。

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3.　対数の起源

　航海のため星の位置を正確に知る天体観測が必要だった15,16世紀のヨーロッパ。多くの天文学者たちがデータの計算に苦労する中、デンマークのヴェーン島の天文台で観測を続けていたティコ・ブラーエはプトレマイオスの時代から改良されてきた弦の表を使い積の計算を和に変換する方法を利用していた。\(2sinAsinB=cos(A-B)-cos(A+B)\)である。この計算方法は、ヨーロッパでは16世紀初頭ヨハネス・ウェルナーが最初らしいが当時は広く知れ渡った方法であったようである。
1590年スコットランド王ジェームズ6世がデンマークへ航海したとき、嵐に会い避難停泊をしたのがヴェーン島でありブラーエの天文台の近くであった。一行がブラーエから歓迎を受けたとき、天文計算の方法が話題になり、侍医として随行していたクレーグはスコットランドに戻ったとき友人のネピアにこの方法を伝えたのではないかと言われている。
　ネピアは1594年頃からいわゆる対数にあたる簡単に計算できる方法を考え始め、算術数列（等差数列）と幾何数列(等比数列）の対応から積と和の関係を考えた。\(10^7\)(正弦表の利用を考えていため半径\(10^7\)の円による）の長さの線分上を0に向かって速度が減少していく点すなわち、初項\(10^7\),公比\(1-10^7\)の幾何数列と別の直線上を一定の速度\(10^7\)で運動する点つまり算術数列との関係を同じ時間が経過したときの点の位置を変数として対応させそれを対数　logarithm　（logos(理性)とarithmos(数)の造語)　と呼んだのである。
　また、16,17世紀にはヨーロッパで商業が盛んで利息の計算など複雑な計算が必要になっていた。ステヴィンによって小数が使われるようになったのは16世紀末のことでそれまでは分数計算や60進小数が利用されていた。スイスの時計技師であった。ビュルギは利子の計算を行う中で、初項\(10^8,公比1+10^{-4}\)の幾何数列を考え、\(N=10^8(1+10^{-4})^L\)として\(Nと10L\)の対応表を作った。それはネピアの発想の5,6年前のことであるが、ネピアの対数表は1614年に、ビュルギの対数表は1620年に出版されている。

	三角関数表、対数表の流れ		小数、指数法則の流れ
ヒッパルコス	弦の表。
プトレマイオス	2世紀「アルマゲスト」
レギオモンタヌス	1467年「三角法全書」
		シュケ	1484年手稿の中で\(a^ma^n=a^{m+n},(a^m)^n=a^{mn}\)
ウェルナー	1510年頃 \(2sinAsinB=cos(A-B)-cos(A+B)\)
		ルドルフ	1526年小数点を|で表し 393.75 は 393|75、複利表を作る
シュティーフル	1544年「算術大全」の中で幾何数列と算術数列の間の対応関係について述べる	シュティーフル	1544年「算術大全」の中で指数という言葉と共に負の数の指数も認めた
ヴィエタ	1579年「数学一覧表」　\(n\)倍角の公式
レティクス	1551年「三角法正典」三角関数を直角三角形で定義、正弦表と正割表を作る	ステヴィン	1585年「10分の1」
ネピア	1614年「驚くべき対数規則の記述」対数表
ブリッグス	1617年「1から1000までの数の対数」
ネピア	1619年「対数計算の仕組み」死後息子による出版
スパイデル	1619年「新しい対数」常用対数表を作り、自然対数を導いている
ガンター	1620年　対数尺を作る	ビュルギ	1620年「等差および等比数列の表」対数表
ブリッグス	1624年「対数算術」
オートレッド	1627年頃　計算尺を作る

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